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Als trigonometrischer Pythagoras wird die Identität

sin 2 ⁡ ⁡ α α + cos 2 ⁡ ⁡ α α = 1 {\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1}

bezeichnet.cite-ref-papula-1-0[1]cite-ref-kreulziebarth2009-2-0[2] Hierbei steht sin 2 ⁡ ⁡ α α {\displaystyle \sin ^{2}\alpha } für ( sin ⁡ ⁡ α α ) 2 {\displaystyle (\sin \alpha )^{2}} und cos 2 ⁡ ⁡ α α {\displaystyle \cos ^{2}\alpha } für ( cos ⁡ ⁡ α α ) 2 {\displaystyle (\cos \alpha )^{2}} . Die Gültigkeit dieser Identität kann am Einheitskreis gezeigt werden, mit Hilfe des Satzes von Pythagoras, der auch namensgebend für diesen häufig benutzten Satz der Trigonometrie ist.

• Geometrische Herleitung

• Geometrische Veranschaulichung

• Analytische Herleitung

• Anwendungsbeispiele

• Einzelnachweise

Als Grundlage dient der Satz des Pythagoras. Er besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse c {\displaystyle c} und den Katheten a {\displaystyle a} und b {\displaystyle b}

a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}

gilt. Wird der Winkel α α {\displaystyle \alpha } im besagten rechtwinkligen Dreieck so gewählt, dass a {\displaystyle a} seine Gegenkathete und b {\displaystyle b} seine Ankathete ist, so gilt allgemein

a = sin ⁡ ⁡ α α ⋅ ⋅ c {\displaystyle a=\sin \alpha \cdot c} ,

b = cos ⁡ ⁡ α α ⋅ ⋅ c {\displaystyle b=\cos \alpha \cdot c} .

Einsetzen beider Gleichungen in den Satz des Pythagoras ergibt dann

( sin 2 ⁡ ⁡ α α + cos 2 ⁡ ⁡ α α ) ⋅ ⋅ c 2 = c 2 {\displaystyle (\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha )\cdot c^{2}=c^{2}} ,

sin 2 ⁡ ⁡ α α + cos 2 ⁡ ⁡ α α = 1 {\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1} .

In der nebenstehenden Skizze sind der Einheitskreis, das heißt ein Kreis mit Radius 1, und ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenusenlänge 1 im Einheitskreis dargestellt. Der Satz des Pythagoras gilt hier für einen beliebigen Wert des Winkels α α {\displaystyle \alpha } im Einheitskreis und zeigt sofort die Gültigkeit des „trigonometrischen Pythagoras“.

Für stumpfe und überstumpfe Winkel α α {\displaystyle \alpha } ist die Beweiskraft der Anschauung problematisch, da für solche (mindestens) eine Winkelfunktion negative Werte hat; was sind „negative Seiten“ eines rechtwinkligen Dreiecks? Ein analytischer Beweis zeigt, dass der trigonometrische Pythagoras für beliebige reelle und komplexe Argumente α α {\displaystyle \alpha } der verwendeten Winkelfunktionen gilt.

Mit der imaginären Einheit und der dritten binomischen Formel lässt sich faktorisieren:

cos 2 ⁡ ⁡ ( α α ) + sin 2 ⁡ ⁡ ( α α ) = cos 2 ⁡ ⁡ ( α α ) − − i 2 ⋅ ⋅ sin 2 ⁡ ⁡ ( α α ) = ( cos ⁡ ⁡ ( α α ) + i ⋅ ⋅ sin ⁡ ⁡ ( α α ) ) ⋅ ⋅ ( cos ⁡ ⁡ ( α α ) − − i ⋅ ⋅ sin ⁡ ⁡ ( α α ) ) ; {\displaystyle \cos ^{2}(\alpha )+\sin ^{2}(\alpha )=\cos ^{2}(\alpha )-\mathrm {i} ^{2}\cdot \sin ^{2}(\alpha )=(\cos(\alpha )+\mathrm {i} \cdot \sin(\alpha ))\cdot (\cos(\alpha )-\mathrm {i} \cdot \sin(\alpha ));}

da der Cosinus eine gerade Funktion und der Sinus eine ungerade Funktion ist, folgt mit der Eulerschen Formel weiter:

( cos ⁡ ⁡ ( α α ) + i ⋅ ⋅ sin ⁡ ⁡ ( α α ) ) ⋅ ⋅ ( cos ⁡ ⁡ ( α α ) − − i ⋅ ⋅ sin ⁡ ⁡ ( α α ) ) = ( cos ⁡ ⁡ ( α α ) + i ⋅ ⋅ sin ⁡ ⁡ ( α α ) ) ⋅ ⋅ ( cos ⁡ ⁡ ( − − α α ) + i ⋅ ⋅ sin ⁡ ⁡ ( − − α α ) ) = e i α α ⋅ ⋅ e − − i α α = e 0 = 1 , {\displaystyle (\cos(\alpha )+\mathrm {i} \cdot \sin(\alpha ))\cdot (\cos(\alpha )-\mathrm {i} \cdot \sin(\alpha ))=(\cos(\alpha )+\mathrm {i} \cdot \sin(\alpha ))\cdot (\cos(-\alpha )+\mathrm {i} \cdot \sin(-\alpha ))=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \alpha }\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \alpha }=\mathrm {e} ^{0}=1,\quad } q.e.d.

Der trigonometrische Pythagoras wird häufig für Umformungen trigonometrischer Terme verwendet, etwa beim Zusammenhang zwischen Tangens und Kosinus oder bei den verschiedenen Formeln für den Kosinus eines verdoppelten Winkels.

tan 2 ⁡ ⁡ α α + 1 = sin 2 ⁡ ⁡ α α cos 2 ⁡ ⁡ α α + cos 2 ⁡ ⁡ α α cos 2 ⁡ ⁡ α α = sin 2 ⁡ ⁡ α α + cos 2 ⁡ ⁡ α α cos 2 ⁡ ⁡ α α = 1 cos 2 ⁡ ⁡ α α {\displaystyle \tan ^{2}\alpha +1={\frac {\sin ^{2}\alpha }{\cos ^{2}\alpha }}+{\frac {\cos ^{2}\alpha }{\cos ^{2}\alpha }}={\frac {\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha }{\cos ^{2}\alpha }}={\frac {1}{\cos ^{2}\alpha }}}

cos ⁡ ⁡ ( 2 α α ) = cos 2 ⁡ ⁡ α α − − sin 2 ⁡ ⁡ α α = 2 cos 2 ⁡ ⁡ α α − − 1 = 1 − − 2 sin 2 ⁡ ⁡ α α {\displaystyle \cos(2\alpha )=\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1=1-2\sin ^{2}\alpha }

cite-note-papula-11. ↑ Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1. Springer, ISBN 978-3-8348-1749-5, S. 251 (google.com).

cite-note-kreulziebarth2009-22. ↑ Hans Kreul, Harald Ziebarth: Mathematik leicht gemacht. Harri Deutsch Verlag, 2009, ISBN 978-3-8171-1836-6, S. 94 (google.com).